2019年中国科学院大学894数学专业综合考研初试大纲

2018/12/25 9:37:16 来源: 网络
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  2019年中国科学院大学硕士研究生入学考试《数学专业综合》考试大纲

  本《数学专业综合》考试大纲适用于中国科学院大学硕士研究生入学考试。所涉及的复分析、拓扑基础、实分析、代数、微分几何以及概率论都是大学数学系本科学生最基本的课程,也是大多数理工科专业学生的必修基础课。要求考生熟悉复分析、拓扑基础、实分析、代数、微分几何以及概率论等课程的基本概念、掌握基本定理、有较强的运算能力和综合分析解决问题能力。

  一、考试的基本要求

  要求考生比较系统地理解复分析、拓扑基础、实分析、代数、微分几何以及概率论等课程的基本概念和基本理论,掌握相应的基本思想和方法。要求考生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力和综合运用所学的知识分析问题和解决问题的能力。

  二、考试方法和考试时间

  数学综合考试采用闭卷笔试?#38382;劍?#35797;卷满分为150分,考试时间为180分钟。

  《数学综合考试试卷》试题分成六个部分,每一部分试题的分值和为90分,总值为540分。考生需在540分的试题中任意选做分值和不超过150分的试题并明确标示。如果选做试题的分值和超过150分,判卷将按照所选做试题的题号顺序?#26469;?#21028;卷直到所做题目分值和超过150分题目的前一题,后面所做试题视作无效考试内容。

  三、 考试内容

  (一) 复分析

  1. 复数

  2. 复函数

  3. 解析函数的几何性质

  4. 复积分

  5. 级数与乘积展开

  6. 共性?#25104;?#19982;Dirichlet问题

  7. 椭圆函数(简单介绍)

  (二) 拓扑基础

  1. 引论. Euler定理,拓扑等价, 曲面,抽象空间,一个分类定理,拓扑不变量。

  2. 拓扑空间及连续?#25104;? 开集与闭集,连续?#25104;洌?#20805;满空间的曲线,Tietze扩张定理

  3. 拓扑空间的紧致性与连通性. 欧氏空间的有界闭集,Heine Borel定理,紧致空间,乘积空间,连通性道路连通性

  4. 粘合空间. Mbius带的制作,粘合拓扑,拓扑?#28023;?#36712;道空间

  5. 拓扑空间的基本群. 同伦?#25104;洌?#25299;扑空间的基本?#28023;扑悖?#21516;伦型,Brouwer不动点定理,平面的分离,曲面的边界,复叠空间及其基本性质

  6. 单?#31185;?#20998;. 空间的单?#31185;?#20998;,重心重分,单纯?#24179;?#22797;形的棱道?#28023;?#36712;道空间的单?#31185;?#20998;

  7. 曲面. 分类,单?#31185;?#20998;与定向,Euler示性数,剜补运算,曲面符号

  8. 单纯同调. 闭链与边缘,同调?#28023;?#21333;纯?#25104;洌?#36752;式重分,不变性

  9. ?#25104;?#24230;与Lefschetz数. 球面的连续?#25104;洌珽uler Poincaré公式,Borsuk Ulam定理,Lefschetz不动点定理

  (三) 实分析

  1. 抽象积分. 可测函数、简单函数及可积函数的基本概念,测度的基本性质,函数列的收敛性,勒贝格单调收敛定理,Fatou引理,控制收敛定理。

  2. 正博雷尔(Borel)测度. 拓扑中的基本概念,Riesz表示定理,Borel 测度的正则性,Lebesgue 测度,可测函数的连续性,Lusin(鲁金) 定理。

  3. 空间. 凸函数,Jensen(?#37319;? 不等式, 空间中的重要不等式:如Holder 不等式,Minkowski 不等式, 函数列中的范数收敛与依测度收敛以及几乎处处收敛之间的关系。

  4. Hilbert空间的初等理论. 内积,平行四边形法则,投影定理,正交基,傅立?#37117;?#25968;。

  5. Banach空间技巧的例子. 赋范空间,贝尔定理及其推论, Hahn-Banach定理,Poisson 积分。

  6. 复测度. 全变差,绝对连续性,Radon-Nikodym(拉东-尼柯迪姆) 定理极其推论, 空间上的有界线性泛函。

  7. 微分. 测度的导数,Hardy-Littlewood 极大函数,微积分基本定理,可微变换。

  8. 乘积空间的积分. 乘积空间的测度,Fubini定理,乘积测度的完备化,卷积,分布函数。

  (四) 代数

  1. 群论

  2. 环与代数、模论

  3. 范畴论初步、泛代数

  4. 域论与Galois理论

  5. 表示理论基础

  (五) 微分几何

  1. 空间区域的几何坐标系. 欧氏空间,黎曼和伪黎曼空间,欧氏空间的变换?#28023;?#24343;莱纳公式,伪欧几里德空间

  2. 曲面论. 空间曲面的几何,第二基本型,球面的度量,伪欧几里德空间中的类空曲面,几何中的复语言,解析函数,曲面度量的共形?#38382;?/p>

  3. 高斯?#25104;?#30340;几何. 高斯?#25104;?#20197;及基本性质,局部坐标下的高斯?#25104;洌?#21521;量场,极小曲面

  4. 内蕴几何. 等距,共形变换,测地线,平行移动,指数?#25104;洌?#27979;地极坐标

  5. 变分法. 一维变分问题,守恒定律,哈密顿系统,相空间的几何理论,测地方程的二阶变分

  (六) 概率论

  1. 随机事件与概率. 随机现象与统计规律性,样?#31350;?#38388;,随机事件及其运算,古典概率,几何概率,概?#22763;?#38388;,概率的公理化结构

  2. 条件概率与事件的独立性. 条件概率与乘法公式,全概率公式,Bayes公式,事件的独立性,独立重复试验,Bernoulli试验

  3. 随机变?#32771;?#20854;分布. 随机变?#32771;?#20854;分布(离散型,连续型),多维随机变?#32771;?#20854;分布(离散型,连续型),条件分布与随机变量的独立性,随机变量的函数及其分布

  4. 随机变量的数字特征. 数学期望与方差,矩,协方差与相关系数,熵与信息量,条件期望与最优预测,母函数,Laplace变换, 矩母函数,特征函数

  5. 极限定理. 随机变量的收敛性,弱大数定律,强大数定律,中心极限定理

  6. 随机过程初步. 随机过程及其有限维分布族,独立增量过程, 平稳增量过程,二阶矩过程,正交增量过程,Gauss过程, Brown?#30805;琍oisson过程,离散时间Markov链初步,平稳过程及其遍历论初步

  7. 随机模拟. Monte Carlo方法与随机数的产生,随机变量的模拟(离散型,连续型),Markov链的模拟,积分的近似?#25169;?/p>

  四、主要参考书目

  1. 《复分析》原书第三版,Lars V. Ahlfors,机械工业出版社。

  2. 《基础拓扑学》,M.A.Armstrong ,孙以丰译,?#26412;?#22823;学出版社。

  3. 《Real and Complex Analysis》,Walter Rudin.《实分析与复分析》(英文版第3版),机械工业出版社,2006。

  4. 《代数学引论》第三卷(第二版),柯斯特利金,高等教育出版社,2007。

  5. 《现代几何学:方法与应用(第一卷)---曲面几何,变换群与场》,杜布洛?#27169;?#35834;维可夫,福明柯,高等教育出版社。

  6. 《A First Course in Probability》(9th Ed.), Sheldon M.Ross ,Pearson, 2012. 中文版《概率论基础教程》为童?#24418;埃?#26753;宝生译,机械工业出版社,2014。

追梦之旅,选择比努力更重要!海天考研,为成功考研指引?#36739;潁?/p>

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